多时滞中性微分方程的稳定性分析

一、带有多个延迟量的中立型微分方程的稳定性分析(英文)（论文文献综述）

简林波^[1]（2017）在《Volterra比例延迟积分微分方程Legendre配置法的误差估计》文中指出延迟积分微分方程普遍应用于如生物数学、人口动力学、数控计算等自然科学和工程技术领域,而Volterra延迟积分微分方程是一类特殊的延迟积分微分方程,常常被用于刻画某些生物问题和物理现象。本文主要研究Volterra比例延迟积分微分方程,分别用单步配置法和多域配置法建立方程的数值格式,并分别研究两种方法的误差精度,最后用几个算例的数值计算结果来验证论文中的结论。最小延迟量足够小的情况下,使用单步配置法。首先根据主要不连续点对方程积分区间进行剖分;其次用变换的Legendre多项式作为基函数构建单步配置法的数值格式,并推导出此方法的误差精度;最后用两个算例的数值计算结果来验证理论分析中的结果。当最小延迟量不足够小时,使用多域配置法。首先对单步配置法中的积分区间剖分结果进行再划分,保证主要不连续点在新剖分点集里面;其次构建多域配置法的数值格式,并推导此方法的误差精度;最后用两个算例的数值计算结果来验证理论分析中的结果。理论分析和数值试验结果表明:单步配置法能获得指数级收敛速率,而且在保持变换的Legendre多项式的最高次数不变的情况下,最小延迟量越小,误差精度越高;多域配置法也能获得指数级收敛速率,但相比单步配置法,针对同一类型的Volterra延迟积分微分方程,在变换的Legendre多项式最高次数相同的情况下,其获得误差精度较低。而且多域配置法方法的误差精度不是随着地无限增加而无限升高,而是慢慢趋于稳定值。

曹阳^[2]（2016）在《延迟微分方程和积分代数方程的谱方法研究》文中研究指明谱方法、有限元法、有限差分法都是求解线性与非线性微分方程的有效数值方法。谱方法是一类对微分方程空间变量离散的方法,它主要由试探函数（也称基函数或展开函数）和检验函数组成。谱方法中的试探函数为无穷可微的整体函数（通常是奇异或非奇异Sturm-Liouville问题的特征函数）。根据检验函数的选取不同,可将谱方法分为谱Galerkin方法、谱配置法（也称拟谱方法）和谱Tau方法。谱方法最大优势在于它具有所谓的“无穷阶收敛性”,但这必须要求原问题的真解能够达到充分光滑,这样就导致了谱方法的缺点是不能灵活地适应复杂区域的计算。本文将谱方法中的谱配置法和谱Tau方法引入到延迟微分方程与积分代数方程上来,并对收敛性进行了深入研究。谱配置法是将检验函数取为以配置点为中心的Dirac-δ函数,这样使得微分方程在配置点上精确成立。将选取Legendre-Gauss型求积公式节点为配置点、选取Legendre多项式为试探基函数的配置法称为Legendre-Gauss配置法。本文将运用Legendre-Gauss配置法数值求解非线性中立型延迟微分方程和非线性Volterra型延迟积分微分方程。这两类方程的解在求解区间内的整体光滑性并不理想,这是因为真解在求解区间内个别点上的光滑性很差,从而导致整体光滑性不佳,而这些点是由方程中延迟函数θ（t）所确定的。为解决这一难题,本文提出了多区域Legendre-Gauss配置法。该方法是将求解区间进行充分剖分,从而保证方程真解在每个子区间都能够充分光滑;然后分别在每个子区间内求其配置解,进而获得全局数值解。按此方法获得的数值解是能够具备谱精度的,即真解只要能在由θ（t）确定的那些点之外充分光滑,则数值解就能够做到“无穷阶收敛”。与以往的谱Tau方法不同,Lanczos和Ortiz提出了一种便于操作的Lanczos Tau方法。这种方法不需要进行积分近似,它是将微分方程直接近似转化为代数方程组。本文运用Lanczos Tau方法来求解比例型线性Volterra延迟积分微分方程。由数值算例的对比结果可见,相比Legendre配置法的高精度,Lanczos Tau方法的优势在于它的高效性。在达到相同收敛阶时,Lanczos Tau方法所用时间要远远少于Legendre配置法所使用的。本文同时给出了Lanczos Tau方法在一般情形下的收敛性分析,并指出了决定其收敛速度的关键因素,这些理论结果在以往的研究成果中是比较少见的。配置法中,取等距节点jh（j=0,±1,±2,···,h>0）映射到求解区域的对应点为配置点,取Sinc基函数为试探基函数的配置法称为Sinc配置法。Sinc配置法是另一种高精度的数值方法,它不需要方程具有较高的正则性。作为试探基函数的Sinc基函数能够对奇异、振荡等问题给出很好的逼近,并同时具备良好的稳定性,这使得Sinc配置法在处理复杂方程时具有许多优势。本文运用Sinc配置法求解比例型线性Volterra延迟积分微分方程和具有指标1的积分代数方程,这是Sinc配置法应用的新尝试。通过误差分析可知,Sinc配置法是能够以指数阶收敛的高精度数值方法。

卢健^[3]（2016）在《几种中立型泛函微分方程的谱亏损校正算法》文中进行了进一步梳理延迟微分方程在各个学科领域中占据着至关重要的地位,尤其是在工程学、控制学和生物学方面。对其数值算法的研究具有重大意义。近年来,泛函积分微分方程（FIDEs）和中立型延迟微分方程（NDDEs）越来越多地受到人们的关注。而谱亏损校正（SDC）算法,作为一种最初用来求常微分方程数值解的算法,理论上有着高精度的特点。本文的主要研究内容就是将SDC算法运用于这两种方程的数值求解,并分别对算法的收敛性和稳定性进行分析。本文的绪论部分阐述了延迟微分方程的应用背景和意义,FIDEs、NDDEs的数值算法以及SDC算法的研究现状。第二章就SDC算法的原理及其数值分析基础和数值稳定性分析所涉及到的相关理论做了简单介绍。第三章构造出了求解一种泛函积分微分方程的扩展SDC算法,并给出了算法的收敛阶,以及全局稳定和渐近稳定需满足的条件。在求初始启动值和误差函数时,本文使用的一种替换技巧使得显式Euler方法亦可解决某些刚性问题,从而降低了计算复杂度。此外,在处理该FIDEs的积分项时,我们所用的求积方法与前人有所不同,因此在全局稳定性上得到了比Pouzet-Runge-Kutta方法略弱的条件。数值实验证明了算法的有效性,并验证了前面所得的理论分析结果。第四章结合改进后的“变线性?-方法”构造出了求解中立型延迟微分方程的SDC算法。同时,也给出了算法的收敛阶以及GS（l）-,GAS（l）-稳定和渐近GAS（l）-稳定的条件。最后用数值实验证明了所得的收敛性和稳定性结论,并将其与Runge-Kutta方法做了对比。第五章对全文研究内容进行了总结,同时也提出了未来可尝试的研究方向。

田志利^[4]（2016）在《两类非线性分片延迟微分方程数值方法的稳定性》文中研究指明分片延迟微分方程在生态学、经济学、电磁场理论、化学及自动控制等学科与工程技术领域中都有着广泛应用,它的理论和算法研究有着无可置疑的重要性.稳定性是微分方程理论中一个非常重要的性质,它反映了初值的扰动对方程的解的影响,因此研究系统本身及数值方法的稳定性具有十分重要的意义.本文的工作包含两部分.首先,在文献中已有的研究成果的基础上,进一步考虑如下含多个分片延迟项的微分方程初值问题：给出了这类问题的解析解稳定和渐近稳定的充分条件：同时还研究了求解该类问题的Runge-Kutta方法的稳定性,分别证明了在问题类满足一定的条件下,BNf-稳定的Runge-Kutta方法求解该类问题时是稳定的或渐近稳定的.其次,考虑如下的一类中立型分片延迟微分方程初值问题：文献中已有关于该类问题的理论解的稳定性及求解该类问题的Runge-Kutta方法的数值稳定性结果.本文进一步研究了求解该类问题的一类线性多步方法的稳定性,给出了方法数值稳定的充分条件.本文也进行了一些数值试验,其结果进一步验证了理论结果的正确性.

胡丹^[5]（2014）在《二阶多延迟微分方程的稳定性分析》文中指出二阶延迟微分方程在生物学、脉冲及控制理论的研究中有着广泛的应用,其稳定性研究可以为工程技术领域提供理论支撑,已被众多学者关注及研究。而对二阶多延迟微分方程,由于延迟量的限制,其理论解和数值方法的研究并不多。因此,对其稳定性的研究具有重要的实际意义。本文主要研究一类二阶多延迟微分方程的理论解和数值解的稳定性。首先,应用指数多项式方程根的分布定理,得出本文二阶多延迟微分模型方程理论解稳定的充分条件：其次,研究了θ-方法求解二阶多延迟微分方程的数值稳定性,证明了θ-方法满足某些条件后是渐近稳定的；最后,分析了Runge-Kutta（RK）方法求解二阶多延迟微分方程的数值稳定性,证明了Runge-Kutta（RK）方法满足某些条件后是渐近稳定的。

赵琳^[6]（2014）在《一类二阶多延迟微分方程的稳定性分析》文中提出二阶延迟微分方程在脉冲及控制理论中有着广泛的应用,但对于二阶延迟微分方程的理论解和数值解的稳定性的研究并不多见。本文主要研究一类二阶多延迟微分方程的稳定性,首先,通过研究特征方程解具有负实部的的条件,给出了方程理论解渐近稳定的一个充分条件。其次,在理论解稳定的条件下,研究RKN方法求解模型方程的稳定性的条件,并得出了RKN方法稳定的一个充分条件。

马剑^[7]（2013）在《某些代数方法在时滞微分系统动力学性质中的应用》文中指出随着科学与技术的发展，不同学科之间的交叉、数学内部学科之间的交叉都显得越来越重要。代数和微分方程的结合就是数学学科内部的一种交叉形式。在微分方程理论研究中，无时无刻不伴随着代数学方法的应用，尤其是矩阵论和线性空间理论，很早就被应用在微分方程理论的研究之中。作为微分方程领域的一个分支，时滞微分方程理论的研究是当今的热门话题。尤其在最近几十年，随着交叉学科的出现，以及计算机科学与技术的快速发展，时滞微分方程理论更加活跃。本研究课题就是在这样的背景下，借助代数方法来研究几类不同的时滞微分系统的动力学行为。其中的代数方法主要包括代数学中的矩阵束、谱、广义特征值、 Kronecker积、线性算子、对称群等。本文将用这些方法，针对几类时滞微分方程的平衡点、稳定性、 Hopf分支等动力学特性进行研究，给出有关稳定性问题的一些代数判据。具体研究内容如下：（1）讨论时滞微分系统中的分支理论，主要包括一般Hopf分支理论和对称性分支理论。尤其对于对称性分支理论，本文将利用对称群及其表示论通过研究一类分段连续型耦合时滞微分系统的稳定性问题，刻画具有特殊对称性的时滞微分系统的稳定性问题，尤其是其具有的特殊的D3-不变性和对称分支问题。（2）利用矩阵束、广义特征值、线性算子等代数方法研究一般情形下奇异型或中立型线性时滞微分系统的动力学特性。对于时滞微分系统来说，特征值的分布在系统的稳定性讨论中占有重要的地位，尤其是零实部特征值的分布往往是系统稳定性变化的临界状态。这里将通过代数方法将奇异型或中立型时滞微分系统对应的特征方程转化为代数方程，从而寻找具有零实部特征值的分布情形。另外，利用时滞微分系统的稳定性理论，寻找时滞微分系统稳定性的代数判据。其中主要介绍单时滞的和多时滞的两种时滞微分系统，而多时滞的情形主要探讨的是成比例的时滞微分系统的稳定性问题。（3）借助矩阵束、 Kronecker积、线性算子等代数方法，研究一类具有时滞的反应-扩散系统的特征值分布及其稳定性问题。反应-扩散系统是一类半线性偏微分系统，其特殊的性质使得特征值和特征函数都有无限多个，故其稳定性的研究相对于常微分系统来说更复杂。这里将利用代数方法讨论一类具有单时滞的，不含有交叉扩散项的高维反应-扩散系统，并根据系统的特征值的变化规律，寻求系统稳定性变化的临界状态，总结反应-扩散系统发生分支现象的代数判据。

王媛媛^[8]（2013）在《几类延迟微分方程的数值离散分支研究》文中提出延迟常（偏）微分方程已经被广泛的应用于许多的学科领域。在这类方程中，能够显式求解出来的只有很少数的特殊类型，构造合适的数值方法去求解这类方程是很有必要的。但是，应用合适的数值方法保持原来系统的性质才最具有实用价值。因此本文以此为出发点，对几类延迟微分方程应用不同的数值方法研究其离散分支行为。本文针对几个延迟常（偏）微分系统，通过标准差分方法和非标准有限差分方法对其离散分支行为进行了研究，主要工作归纳如下：首先，通过非标准有限差分方法，对带有单峰反馈的延迟常微分方程进行了研究。应用Schur多项式和Neimark-Sacker分支理论，在三种情形下得到了平衡点的局部稳定性问题。在出现Neimark-Sacker分支的情况下，利用规范型和中心流形定理得到了分支方向和分支周期解的稳定性。最终表明非标准有限差分方法在描述逼近原系统的动力学方面优越于欧拉法。其次，讨论了一个带有延迟反馈的复系统的自动驱动的极限环阵子模型。对复系统实部虚部分离，得到了一个二维系统。对二维系统应用非标准有限差分方法，研究了系统的离散分支。对离散模型的特征方程进行讨论，得到了平衡点的稳定性结论。并且得到了二维离散模型的分支开关。再次，研究了带有Dirichlet边界条件的扩散Nicholson果蝇方程，通过向前欧拉法、向后欧拉法和Crank-Nicolson差分模式，得到了在三种差分模式下平衡点的局部稳定性和Neimark-Sacker分支的存在性。通过分析特征值的分布，发现在没有扩散的情形下平衡点不稳定，加上扩散后，在一定条件下平衡点变得稳定。并且结果表明向前欧拉差分比向后欧拉差分和Crank-Nicolson差分模式在时间和空间步长上需要更强的条件。最终，应用向后欧拉法和非标准有限差分方法、Crank-Nicolson差分模式，讨论了带有Dirichlet边界条件的扩散食物极限延迟偏微分方程，得到了平衡点的局部稳定性和Neimark-Sacker分支的存在性。并且表明非标准有限差分方法比向后欧拉法具有优越性。而Crank-Nicolson差分模式比非标准有限差分方法优越。同时也得到无扩散情形下不稳定的平衡点，在加入扩散下，平衡点变得稳定。

李欣迪^[9]（2012）在《两类三参数延迟微分方程边值法对称格式的稳定性》文中提出延迟微分方程相较于常微分方程来说，是对现实世界的刻画更为精准的数学模型。在传统的研究中，学者们对其解析解存在性和唯一性的研究进展十分缓慢，满足不了要求苛刻且日益增长的工程计算上的需求。故而随着电子计算机技术的逐渐成熟，求解可以达到一定精确度的数值解发展成为了一门新的学科——计算数学。特别是近些年来，应用数学领域的各个方向与其他学科形成的交叉学科成为了既具有现实意义又可以促进彼此进步的新兴科学，大批的各个领域学者越来越依赖数学工具处理遇到的各种实际问题。在处理这些具体问题时，越来越多的数学模型被提出且急待解决。通常来说，人们习惯使用研究比较透彻的，已经形成完整理论体系的Runge-Kutta法、线性多步法或者谱方法等数值格式进行离散化处理。而边值法作为初值法的一种广义推广方法，因为其相对良好的性质引起了大家的注意。特别是边值方法中的对称格式，因其精度高，稳定性好的特质，需要更多的理论研究来确定其使用时的条件，扩大其应用的范围。本篇文章针对两类使用广泛的模型方程进行了深入的研究，利用边值法中的对称格式进行离散化处理，分别得出了数值格式保持解析解渐进稳定的充要条件。其中对根轨迹法的使用，使得对稳定域的描述更加直观，避免了枯燥的理论推导。而在确定两类模型方程的数值稳定域时，通过取定特殊的参考点可以直接确定数值解的稳定域，因为此时的特征方程是一个超越方程，其根的分布是很难直接确定的。

胡鹏^[10]（2012）在《离散与分布式延迟微分方程数值方法稳定性分析》文中指出本博士论文主要考虑几类离散和分布式延迟微分方程的数值稳定性,诸如非线性中立型延迟微分方程,非线性中立型延迟积分微分方程,随机延迟积分微分方程以及随机Volterra积分微分方程。主要考虑的数值格式是线性多步方法和随机θ-方法。我们分别研究了线性多步方法在求解非线性中立型延迟微分方程和非线性中立型延迟积分微分方程时的渐近稳定性,以及随机θ-方法求解随机延迟积分微分方程和随机Volterra积分微分方程时的均方渐近稳定性。整个论文如下包括6个部分：第一章,我们简要介绍确定性和随机延迟微分方程的一些应用背景,以及延迟微分方程数仇方法稳定性分析的研究现状。同时,我们给出本文的工作概要。第二章研究A-稳定的线性多步方法在求解非线性中立型延迟微分方程时的渐近稳定性,证明了带有线性插值的任何A-稳定的线性多步方法是GAS-稳定的。第三章研究非线性中立型变延迟积分微分方程解析解和数值解的稳定性,给出了方程解析解稳定的充分条件；接着考虑A-稳定的线性多步方法求解此类方程时的渐近稳定性,证明了在非约束网格下,线性多步方法能够保持解析解的渐近稳定性。第四章研究随机θ-方法求解线性随机延迟积分微分方程时的均方渐近稳定性,证明了在适当条件下,随机θ-方法能够保持方程真解的均方渐近稳定性。第五章进一步研究随机θ-方法求解非线性随机延迟积分微分方程的均方渐近稳定性,证明了在约束网格条件下,当θ∈[1/2,1]时,随机θ-方法是无条件均方渐近稳定的。当θ∈[0,1/2)时,在适当步长限制条件-下,方法是均方渐近稳定的。第六章,我们将随机θ-方法扩展应用到求解非线性随机Volterra积分微分方程。首先,我们证明随机θ-方法在求解此类方程时具有1/2阶均方收敛性。接着,我们给出了非线性随机Volterra积分微分方程真解均方指数稳定的充分条件。在此条件-下,我们证明了随机θ-方法当1/2≤θ≤1时对任意步长是均方渐近稳定的；当0≤θ<1/2时,随机θ-方法对适当小的步长是均方渐近稳定的。

二、带有多个延迟量的中立型微分方程的稳定性分析(英文)（论文开题报告）

（1）论文研究背景及目的

此处内容要求：

首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。

写法范例：

本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。

（2）本文研究方法

调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。

观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。

实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。

文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。

实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。

定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。

定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。

跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。

功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。

模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。

三、带有多个延迟量的中立型微分方程的稳定性分析(英文)（论文提纲范文）

（1）Volterra比例延迟积分微分方程Legendre配置法的误差估计（论文提纲范文）

（2）延迟微分方程和积分代数方程的谱方法研究（论文提纲范文）

（3）几种中立型泛函微分方程的谱亏损校正算法（论文提纲范文）

（4）两类非线性分片延迟微分方程数值方法的稳定性（论文提纲范文）

（5）二阶多延迟微分方程的稳定性分析（论文提纲范文）

（6）一类二阶多延迟微分方程的稳定性分析（论文提纲范文）

（7）某些代数方法在时滞微分系统动力学性质中的应用（论文提纲范文）

（8）几类延迟微分方程的数值离散分支研究（论文提纲范文）

（9）两类三参数延迟微分方程边值法对称格式的稳定性（论文提纲范文）

（10）离散与分布式延迟微分方程数值方法稳定性分析（论文提纲范文）

四、带有多个延迟量的中立型微分方程的稳定性分析(英文)（论文参考文献）

• [1]Volterra比例延迟积分微分方程Legendre配置法的误差估计[D]. 简林波. 哈尔滨工业大学, 2017(02)
• [2]延迟微分方程和积分代数方程的谱方法研究[D]. 曹阳. 哈尔滨工业大学, 2016(01)
• [3]几种中立型泛函微分方程的谱亏损校正算法[D]. 卢健. 华中科技大学, 2016(01)
• [4]两类非线性分片延迟微分方程数值方法的稳定性[D]. 田志利. 湘潭大学, 2016(03)
• [5]二阶多延迟微分方程的稳定性分析[D]. 胡丹. 上海师范大学, 2014(01)
• [6]一类二阶多延迟微分方程的稳定性分析[D]. 赵琳. 上海师范大学, 2014(01)
• [7]某些代数方法在时滞微分系统动力学性质中的应用[D]. 马剑. 哈尔滨工业大学, 2013(02)
• [8]几类延迟微分方程的数值离散分支研究[D]. 王媛媛. 哈尔滨工业大学, 2013(03)
• [9]两类三参数延迟微分方程边值法对称格式的稳定性[D]. 李欣迪. 哈尔滨工业大学, 2012(04)
• [10]离散与分布式延迟微分方程数值方法稳定性分析[D]. 胡鹏. 华中科技大学, 2012(08)

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